题目

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点. （1） 如图1，当点D在边BC上时，且∠BAD＝30°，求证：AD=BD. （2） 如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC−∠ADC＝45°，求证：BD=AD. （3） 如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α(0<α≤180∘)，直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAC面积的最大值.   答案： 证明：如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE， ∴△ABD≌△ABE， ∴AE＝AD，BE＝BD，∠EBA＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝60° ∴△ADE是等边三角形，DE=2BD， ∴AD＝DE=2BD； 证明：如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC，且AD＝AE，AB＝AC， ∴△BAE≌△CAD(SAS)  ∴∠ACD＝∠ABE， ∵∠ACD+∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠DCB+∠ABC+∠ABE＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵AE＝AD，AE⊥AD， ∴DE=2AD，∠ADE＝45°， ∵∠BDC−∠ADC＝45°， ∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDC，且DO＝DO，∠DOB＝∠DOE＝90°， ∴△DOB≌△DOE(ASA)  ∴BD＝DE， ∴BD=2AD； 【1】2+23

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