题目

2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮.某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分A、B、C三个场馆，且购买2张 场馆门票和1张 场馆门票共需要140元，购买3张 场馆门票和2张 场馆门票共需要230元.由于场地和疫情原因，要求到 场馆参观的人数要少于到 场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观. （1） 求 场馆和 场馆门票的单价. （2） 已知 场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张 场馆门票就赠送1张 场馆门票. ①若购买 场馆门票赠送的 场馆门票刚好够参观 场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值. ②若参观 场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案. 答案： 解：设 A 场馆和 B 场馆门票的单价分别为 x 元、 y 元，根据题意，得： {2x+y=1403x+2y=230 ， 解方程组，得： {x=50y=40 . 答： A 场馆门票的单价为50元， B 场馆门]票的单价为40元. 解：已知 C 场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张 A 场馆门票赠送1张 C 场馆门票， ①若购买 A 场馆门票赠送的 C 场馆门票刚好够参观 C 场馆的同学使用，设购买 A 场馆门票 a 张，此次门票所需总金额为 w 元，则参观 A 场馆的同学有 a 名，参观 C 场馆的同学有 a 名，参观 B 场馆的同学有 (40−2a) 名， ∴ w=50a+40(40−2a)=−30a+1600 ， ∵ −30<0 ， ∴ w 随 a 的增大而减小， 而要求到 A 场馆参观的人数要少于到 B 场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观， ∴ a<40−2a ， ∴ a<403 ， ∵ a 是正整数， ∴ a≤13 ， ∴当 a=13 时， w 取得最小值， 最小值为： w=−30×13+1600=1210 ， 即此次门票所需总金额的最小值为1210元； ②若参观 C 场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元， 设购买 A 场馆门票 n 张，购买 C 场馆门票 c 张，则参观 A 场馆的同学有 n 名，参观 C 场馆的同学有 (n+c) 名，参观 B 场馆的同学有 (40−2n−c) 名，由题意得： 50n+40(40−2n−c)+15c=1200 ， 整理得： c=16−65n ， ∵ n 、 c 都是正整数， ∴ n 是5的倍数， 满足条件的 n 、 c 有 {n=5c=10 、 {n=10c=4 ， 若 n=5 、 c=10 ，则 n+c=15 ， 40−2n−c=20 ； 若 n=10 、 c=4 ，则 n+c=14 ， 40−2n−c=16 ，. 所有满足条件的购买方案为：方案一，购买 A 场馆门票5张，购买 B 场馆门票20张，购买 C 场馆门票10张；方案二，.购买 A 场馆门票10张，购买 B 场馆门票16张，购买 C 场馆门票4张.

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