题目

在① ② 的前n项和 ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：在等差数列 中， ，且________． （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 ，求数列 的前n项和 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案： 解：选① 设 {an} 的公差为d． 由题意可得 a1+2d+a1+5d=2a1+7d=18 ． 因为 a1=2 ，所以 d=2 ， 则 an=a1+(n−1)d=2n ． 选② 设 {an} 的公差为d． 因为 Sn=n2+pn ，所以 Sn−1=(n−1)2+p(n−1)=n2+pn−2n−p+1(n≥2) ， 则 an=2n+p−1(n≥2) ． 因为 a1=S1=p+1=2 ，所以 p=1 ，所以 an=2n(n≥2) ． 当 n=1 时， a1=2 满足上式，故 an=2n ． 选③ 设 {an} 的公差为d． 因为 a3+a4=a7 ，所以 a1+2d+a1+3d=a1+6d ，即 a1=d ． 因为 a1=2 ，所以 d=2 ， 则 an=a1+(n−1)d=2n ． 由（1）可得 an+1=2(n+1) ，则 bn=12n×2(n+1)=14(1n−1n+1) ． 故 Tn=14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n4n+4 ．

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