题目

在中，，，．（1）如图1，求点C到边的距离；（2）点M是上一动点． ①如图2．过点M作交于点N，当时，求的长； ②如图3，连接，当为何值时，为等腰三角形？答案：解：如下图1，过点C作 CD⊥AB 于点D，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得， AC2+BC2=AB2 ，即 82+BC2=102 ，解得 BC=6 ． ∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC ， ∴10CD=6×8 ， ∴CD=245 ， ∴ 点C到边 AB 的距离为 245 ；解：①连接 BN ，如下图2． ∵MN⊥AB ， ∴∠BMN=90° ， ∴∠BMN=∠ACB=90° ，在 Rt△BCN 与 Rt△BMN 中， {CN=MNBN=BN ∴△BCN≌△BMN，， ∴BM=BC=6 ， ∴AM=AB−BM=10−6=4 ， ∴AM 的长为 4 ； ②分三种情况计论：当 BM=CM 时， △BCM 为等腰三角形， ∵BM=CM ， ∴∠BCM=∠B ． ∵∠ACB=90° ， ∴∠A+∠B=90° ， ∠BCM+∠ACM=90° ， ∴∠A=∠ACM ， ∴AM=CM ， ∴AM=BM=12AB ， ∴AM=5 ；当 BM=BC=6 时， △BCM 为等腰三角形， ∴AM=AB−BM=4 ；当 BC=CM=6 时， △BCM 为等腰三角形，如下图3，过点C作 CD⊥AB 于点D，由（1）知， CD=245 ，在 Rt△BDC 中，由勾股定理得： BD2+CD2=BC2 ， ∴BD2+(245)2=62 ， ∴BD=185 ， ∵BC=CM ， CD⊥AB ， ∴DM=BD=185 ， ∴AM=AB−BD−DM =10−185−185=145 ．综上所述，当 AM 为 5 ， 4 或 145 时， △BCM 为等腰三角形．

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