题目

如图在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点 ⑴ 求二面角α- l-β的大小 ⑵ 求证明：MN⊥AB ⑶ 求异面直线PA与MN所成角的大小 答案：解析:⑴ 用垂线法作二面角的平面角 ⑵ 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 ⑶ 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解 解： ⑴ 连PD     ∵PA⊥α，AD⊥l     ∴PD⊥l     ∴∠PDA为二面角α- l-β的平面角     在RTΔPAD中     ∵PA=PD     ∴∠PDA=45°     ∴二面角α- l-β为45° ⑵ 设E是DC的中点，连ME、NE ∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点 ∴ME∥AD，NE∥PD ∴ME⊥l，NE⊥l ∴l⊥平面MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面MEN ∵MN??平面MNE ∴MN^AB ⑶ 设Q是DP听中点，连NQ、AQ    则NQ∥DC，且NQ=1/2DC    ∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC    ∴QN∥AM，QN=AM    ∴QNMQ为平行四边形    ∴AQ∥MN    ∴∠PAQ为PA与MN所成的角    ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线    ∴∠PAQ=45°    即PA与MN所成角的大小为45°

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