题目

在梯形中，，，，对角线和相交于点，等腰直角的直角顶点与梯形的顶点重合，将绕点旋转（1）如图1，当的一边落在边上，另一边落在边的延长线上时，求证：（2）继续旋转，旋转角为，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由；（3）如图3，继续旋转，当三角形的一边与梯形对角线重合，与相交于点时，若，，，分别求出线段、、的长．答案：证明：∵BC=DC， △ECF 是等腰直角三角形， ∴CE=CF，∠ECF=90°，在 △BCF 和 △DCE 中， {BC=DC∠BCF=∠DCECF=CE ， ∴ △BCF ≌ △DCE （SAS）解： △BCF≌△DCE ，所画图形如图所示，证明：∵ ∠BCD=90°，∠ECF=90° ， ∴ ∠BCF+∠FCD=∠DCE+∠DCF=90° ， ∴ ∠BCF=∠DCE ，在 △BCF 和 △DCE 中， ∵ {BC=DC∠BCF=∠DCEEC=FC ， ∴ △BCF≌△DCE （SAS）解：∵ AB=1 ， BC=2 ， ∴由勾股定理得 AC=5 ， BD=22 ， ∵ AB//CD ， ∴ △AOB∽△COD ， ∴ ABCD=OAOC=OBOD=12 ， ∴ 12=OA5−OA ， ∴ OA=53 ， ∴ AF=OF+OA=56+53=52 ， ∴ EC=FC=52 ， ∴ OB=13BD=223 ，在 △COB 和 △CPE 中， ∵ ∠OBC=∠PEC=45° ， ∠OCB=∠PCE=90°－∠ACD ， ∴ △COB∽△CPE ， ∴ OBBC=PECE ， ∴ PE=223×52×12=106

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