题目

如图，▱ABCD的对角线相交于点O，将线段OD绕点O旋转，使点D的对应点落在BC延长线上的点E处，OE交CD于H，连接DE． （1） 求证：DE⊥BC； （2） 若OE⊥CD，求证：2CE•OE=CD•DE； （3） 若OE⊥CD，BC=3，CE=1，求线段AC的长． 答案： 证明：由旋转可知OE=OD，∴∠ODE=∠OED，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC∴OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°，∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°∴∠OED+∠OEB=90°，即∠DEB=90°，∴DE⊥BC； 解：∵OE⊥CD，∴∠CHE=90°，∴∠CDE+∠OED=90°∵∠OED+∠OEB=90°，∴∠CDE=∠OEB∵∠OEB=∠OBE，∴∠CDE=∠OBE，∵∠CDE=∠OBE，∠CED=∠DEB，∴△CDE∽△DBE∴ CDBD = CEDE ，即CE•BD=CD•DE，∵OE=OD，OB=OD，BD=OB+OD，∴BD=2OE，∴2CE•OE=CD•DE； 解：∵BC=3，CE=1，∴BE=4由（2）知，△CDE∽△DBE∴ CEDE = DEBE ，即DE2=CE•BE=4，∴DE=2，过点O作OF⊥BE，垂足为F，∵OB=OE，∴BF=EF= 12 BE=2，∴CF=EF﹣CE=1∵OB=OD，BE=EF，∴OF= 12 DE=1，在Rt△OCF中，OC= OF2+CF2 = 12+12 = 2 ，∴AC=2OC=2 2 ．

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