题目

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ ED，连接BE，EC. （1） 问题发现： 如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是； （2） 类比探究： 如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由； （3） 拓展应用： 如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在其上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝ ，请直接写出线段 EF的长度. 答案： 【1】120°【2】AD＝EB 解： ∠EBA=150° ， EB=3AD ，理由如下： ∵α=120° ， ∴∠EDC=∠BAC=120° ， ∵CD=ED ， AB=AC ， ∴∠DEC=∠DCE=∠ABC=∠ACB=30° ， ∴ΔDEC∽ΔABC ， ∠BCE=∠ACD ， ∴ DCAC=ECBC ， ∴ BCAC=ECDC ， ∴ΔBCE∽ΔACD ， ∴∠EBC=∠DAC=120° ， EBAD=BCAC ， ∴∠EBA=∠EBC+∠ABC=120°+30°=150° ， 过 A 作 AM⊥BC 于 M ，如图②所示： 则 BC=2CM ， 在 Rt△ACM 中， CMAC=cos30°=32 ， ∴ EBAD=BCAC=2CMAC=3 ， ∴EB=3AD ； 解：连接 BD ，分两种情况： ①当 AE=13AB 时，如图③所示： ∵ 四边形 DEFG 是正方形， ∴EF=ED ，对角线 FD 与 EG 互相垂直平分， ∴ΔDEO 是等腰直角三角形， ∴ ODDE=sin45°=22 ， 在 Rt△ABD 中， ADBD=sin45°=22 ， ∴ ODDE=ADBD ， ∵∠ODA+∠ADE=45°=∠BDE+∠ADE ， ∴∠ODA=∠BDE ， ∴ΔAOD∽ΔBED ， ∴ AOBE=ODDE=ADBD=22 ， ∴ OA23AB=22 ， ∵OA=2 ， ∴AB=3=AD ， ∴AE=13AB=1 ， 在 Rt△AED 中，由勾股定理得： ED=AE2+AD2=12+32=10 ， ∴EF=ED=10 ； ②当 BE=13AB 时，如图④所示： 同①得： AOBE=ODDE=22 ， ∴ OA13AB=22 ， ∵OA=2 ， ∴AB=6=AD ， ∴AE=23AB=4 ， 在 Rt△AED 中，由勾股定理得： ED=AE2+AD2=42+62=213 ， ∴EF=ED=213 ； 综上所述，线段 EF 的长度为 10 或 213

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