题目

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．   答案：（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①存在，点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M（﹣，﹣） 【解析】 （1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解； （2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解． 【详解】 解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1）， 解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①； （2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝； ①当点P（P′）在点C的右侧时， ∵∠P′AB＝∠BCO， 故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）； 当点P在点C的左侧时， 设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠PBC＝∠BCO， ∴△BCH为等腰三角形，则 BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝， 解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②， 联立①②并解得：， 故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝， 故设直线AP的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1， 故直线AP的表达式为：y＝x+1， 联立①③并解得：，故点N（，）； 设△AMN的外接圆为圆R， 当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n）， ∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR， ∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点M（m+n，n﹣m﹣3）， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③， 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④， 联立③④并解得：， 故点M（﹣，﹣）． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．

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