题目

(22)已知a＞0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=an(将A用a表示);(Ⅱ)设bn=an－A,n=1,2,…,证明:bn+1=－;(Ⅲ)若|bn|≤,对n=1,2,…都成立,求a的取值范围. 答案：(22)本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解：(Ⅰ)由an存在,且A=an(A＞0),对an+1=a+两边取极限得.A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.    (Ⅱ)由an=bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+, ∴bn+1=a－A+=－+=－.即bn+1=－对n=1,2,…都成立. (Ⅲ)令|b1|≤,得|a－(a+)|≤.∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.现证明当a≥时,|bn|≤,对n=1,2,…都成立.(ⅰ)当n=1时结论成立(已验证).(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时结论成立,即|bk|≤,那么|bk+1|=≤×.故只需证明≤,即证A|bk+A|≥2对a≥成立.由于A==，而当a≥时，－a≤1,∴A≥2.∴|bk+A|≥A－|bk|≥2－≥1,即A|bk+A|≥2.故当a≥时，|bk+1|≤×=.即n=k+1时结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)，可知结论对一切正整数都成立.故|bn|≤对n=1,2,…都成立的a的取值范围为［，+∞).

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