题目

为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽.图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （Ⅱ）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 答案：解：（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为（），…………4分 椭圆的短半轴，所以 所以半椭圆方程为  （）…………8分 （Ⅱ）当的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点的横坐标为，则，， ……10分 由得，…………12分 解得， 此时…………14分 答：达到最佳美观的效果时为…………16分

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