题目

（本题12分）已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥的体积； (Ⅱ) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论； (Ⅲ) 若点为的中点，求二面角的大小. 答案：解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形， 侧棱底面，且. ∴， 即四棱锥的体积为.             ………………………………4分 (Ⅱ) 不论点在何位置，都有.                             证明如下：连结，∵是正方形，∴.           ∵底面，且平面，∴.        又∵，∴平面.                         ∵不论点在何位置，都有平面.  ∴不论点在何位置，都有.        ………………………………8分 (Ⅲ) 在平面内过点作于，连结. ∵，，， ∴Rt△≌Rt△， 从而△≌△，∴. ∴为二面角的平面角.                            在Rt△中，， 又，在△中，由余弦定理得 ，               ∴，即二面角的大小为.  …………………12分

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