题目

如图2-2-6,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.图2-2-6(1)求证:AD⊥BC.(2)求二面角B-AC-D的大小.(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在,确定E的位置;若不存在,请说明理由. 答案：(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH. AB⊥BDHB⊥BD,又AD=,BD=1,∴AB==BC=AC.∴BD⊥DC.又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH⊥BC,∴AD⊥BC.证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,则有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=,∴M是AC的中点,且MN∥CD,则BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得cos∠BMN=.∴∠BMN=arccos.(3)解:设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD,则EF∥AH,∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=,∴tan∠EDF=.解得x=,则CE=x=1.故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.

查看本题答案和解析