题目

设椭圆的左、右焦点分别为 ，椭圆的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的菱 形面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由． 答案：解：（Ⅰ）椭圆的离心率为 ， 又由连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为可得        ， 所求椭圆方程为. 　 （Ⅱ）由, ：                    整理得          设，         则，   =        由于菱形对角线垂直，则         得        当时，上式恒成立.又P、M、N三点不共线，所以 当时，由上式可得， 解得且 故存在满足题意的P, 当时，. 当时，的取值范围是且 . 　

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