题目

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点. (Ⅰ)证明：B1C1⊥CE； (Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值； 第19题图     答案：方法一：　如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).    …………………………………………………………………………………3分 (1)证明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，  所以B1C1⊥CE.      ………………………………………………………………5分 (2)解　＝(1，－2，－1).  设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)， 则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1).   ………………………………………………………… 8分 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量.      ……………………………………………………………………10分 于是cos〈m，〉＝＝＝－，      ……………………11分 从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.    ………12分 方法二　(1)证明　因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1. 经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝， 从而B1E2＝B1C＋EC， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，……………………2分 又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E， 又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE. ……………………5分 (2)解　过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G. 由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角.  ……………………………………………………………………………………9分 在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝. 在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝， 即二面角B1－CE－C1的正弦值为.   …………………………………………12分

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