题目

已知椭圆C:=1(a>b>0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线l,与圆x2+y2=相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合. (1)求椭圆C的方程; (2)过点O作两条相互垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求△OAB面积的最小值. 答案：解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为=1,直线与x2+y2=相切,满足,且a2-b2=1, 整理可得7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2=(舍去), 故b2=3, 所求的椭圆C的方程为=1. (2)①当两线分别与坐标轴重合时,S△OAB=2 ②当两线不与坐标轴重合时,由于OA⊥OB,设直线OA为y=kx,则直线OB为y=-x, 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的方程为y=kx,与椭圆=1联立消去y,得, 用-代换k得, , S2=|OA|2·|OB|2=)·()= = =, 当且仅当k=±1时取等号,又,综合①②可得三角形的最小面积为S△OAB=

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