题目

如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 答案：【考点】切线的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可； （2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论； （3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OE． ∵CD是圆O的直径， ∴∠CED=90°． ∵OC=OE， ∴∠1=∠2． 又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1， ∴∠PED=∠2， ∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°， ∴OE⊥EP， 又∵点E在圆上， ∴PE是⊙O的切线； （2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°， ∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1， ∴∠PED=∠4， 即ED平分∠BEP； （3）解：设EF=x，则CF=2x， ∵⊙O的半径为5， ∴OF=2x﹣5， 在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2， 解得x=4， ∴EF=4， ∴BE=2EF=8，CF=2EF=8， ∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=10，BE=8， ∴AE=6， ∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°， ∴△AEB∽△EFP， ∴=，即=， ∴PF=， ∴PD=PF﹣DF=﹣2=． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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