题目

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB．OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．【小题1】求A、B、C三点的坐标；【小题2】求此抛物线的表达式【小题3】连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A．点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；【小题4】在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由 答案：p;【答案】【小题1】解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　………………………………1分∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　…………………………………2分【小题2】∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得　解得   ∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　………………………………………5分【小题3】依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC∴＝　　即＝∴EF＝…………………………………………6分 过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝　∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　……………………………8分自变量m的取值范围是0＜m＜8　　…………………9分【小题4】存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　………………………………10分∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．　　……………………………………………12分解析:p;【解析】略

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