题目

20、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1， M是线段EF的中点． （1）求证：AM∥平面BDE； （2）求二面角A－DF－B的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°. 答案：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE， ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE ∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE （2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS， ∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，∴AB⊥平面ADF， ∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角 在Rt△ASB中，AS==，AB=， ∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°； （3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤）， 则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0） 又∵，夹角为60°，∴， 解之得t=或t=（舍去）， 故点P为AC的中点时满足题意．

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