题目

（本小题满分13分） 已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．    （I）求椭圆的方程；    （Ⅱ）求线段的长度的最小值； （Ⅲ）在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由． 答案：（本小题满分13分） 解：（I）由已知得，抛物线的焦点为，则，又． 由，可得．  故椭圆的方程为．…………………………………………4分 （Ⅱ）直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而． 由得．………………………………6分 设，则 ． 所以，从而． 即又， 则直线的斜率为． 由     得 所以． 故． 又，  ． 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，线段的长度取最小值．…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当的长度取最小值时，．  则直线的方程为，此时，． 若椭圆上存在点，使得的面积等于，则点到直线的距离等于， 所以在平行于且与距离等于的直线上． 设直线． 则由  得．………………………………………10分 ．即． 由平行线间的距离公式，得 ， 解得或（舍去）． 可求得或．…………………………………………13分

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