题目

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和． （1）求证数列{an}是等差数列； （2）若数列{}的前n项和为Tn，求Tn． 答案：【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）由已知利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an与an﹣1的关系，进而证明数列{an}是等差数列． （2）利用（1）可得==，n∈N*，再利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（1）∵对任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，即． ∴当n≥2时，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）=﹣=﹣2an﹣1， 化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0， ∵对任意n∈N*，an＞0． ∴an+an﹣1＞0． ∴an﹣an﹣1=2． ∴数列{an}是等差数列，公差为2． （2）由（1），a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴=4n（n+1）， ∴==，n∈N*； ∴Tn=． 　

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