题目

已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明． 答案：解析】 （1）如图所示 （2）在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM ∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM ∴∠OMP=∠OPN （3）过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB. ∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF 在△NPF和△PMK中 ，∴△NPF≌△PMK（AAS） ∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK. 又∵ON=PQ，在Rt△NOF和Rt△PKQ中 ，∴Rt△NOF≌Rt△PKQ（HL），∴KQ=OF. 设MK=y，PK=x ∵∠POA=30°，PK⊥OQ ∴OP=2x，∴OK=， ∴， ∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ ∴KQ=KH+HQ= ∵KQ=OF，∴，整理得 所以，即PK=1 ∵∠POA=30°，∴OP=2

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