题目

已知函数. （Ⅰ）求函数的极大值. （Ⅱ）求证：存在，使； （Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由. 答案：解：（Ⅰ）……………………………………（1分）       令解得       令解得.……………………………………………………（2分）       ∴函数在（0,1）内单调递增，在上单调递减. ……………（3分）       所以的极大值为 …………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知在（0,1）内单调递增，在上单调递减，       令       ∴ ………………………………………………（5分）       取则  ………………………………（6分） 故存在使即存在使 ………………………………………………（7分）       （说明：的取法不唯一，只要满足且即可） （Ⅱ）设       则       则当时，，函数单调递减；       当时，，函数单调递增.       ∴是函数的极小值点，也是最小值点,       ∴       ∴函数与的图象在处有公共点（）.………（9分）       设与存在“分界线”且方程为，       令函数       ①由≥，得在上恒成立，       即在上恒成立，       ∴，       即，       ∴，故………………………………………（11分）       ②下面说明：，       即恒成立.       设       则       ∵当时，,函数单调递增，         当时，,函数单调递减，       ∴当时，取得最大值0，.       ∴成立.………………………………………（13分）       综合①②知且       故函数与存在“分界线”，       此时…………………………………………………（14分）

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