题目

如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m＞0）作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(1)设点P分有向线段所成的比为λ，证明⊥（-λ）；(2)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程. 答案：解:(1)依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m,代入抛物线方程x2=4y,得 x2-4kx-4m=0.                                                                                                          ①设A,B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两根.所以x1x2=-4m.                                                                                                        由点P(0，m)分有向线段所成的比为λ，得=0，即λ=-.又点Q与点P关于原点对称，故点Q的坐标是(0,-m)，从而=(0,2m).               -λ=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+M)=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m).                             ·(-λ)=2m［y1-λy2+(1-λ)m］=2m［+·+(1+)m］=2m(x1+x2)·=2m(x1+x2)·=0. 所以⊥(-λ).                                                                                 (2)由得点A,B的坐标分别是(6,9)、(-4，4).                                 由x2=4y,得y=x2，y′=x.所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y′|x=6=3.   设圆C的圆心为(a,b)，方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，则解得a=-,b=.∴r2=.则圆C的方程是(x+)2+(y-)2=.(或x2+y2+3x-23y+72=0).

查看本题答案和解析