题目

（18分）如图所示，平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，距离为2a。有一簇质量为m、带电量为+q的带电微粒，在平面内，从P点以相同的速率斜向右上方的各个方向射出（即与x轴正方向的夹角θ，），经过某一个垂直于平面向里、磁感应强度大小为的有界匀强磁场区域后，最终会聚到Q点，这些微粒的运动轨迹关于y轴对称。为保证微粒的速率保持不变，需要在微粒的运动空间再施加一个匀强电场。重力加速度为g。求：（1）匀强电场场强E的大小和方向；（2）若微粒在磁场中运动的轨道半径为，求与轴正方向成30°角射出的微粒从P点运动到Q点的时间；（3）若微粒从P点射出时的速率为v，试推出在的区域中磁场的边界点坐标与之间满足的关系式。  答案：（1），方向竖直向上。（2）（3）解析:（1）由题意可知，微粒所受电场力与重力平衡，即                    （2分）   解得：，方向竖直向上。   （1分）（2）根据题意画出微粒的运动轨迹如图所示，设A、C分别为微粒在磁场中运动的射入点和射出点。根据几何关系可得：A点坐标为（，），C点坐标为（，）      （2分）微粒运动的路程为 （2分）       设微粒运动的速率为v，它做匀速圆周运动时洛    仑兹力提供向心力，即                  （2分）              （2分）解得：    （1分）（3）如图所示，设微粒在磁场中运动的轨道半径为，在的区域内，设微粒离开磁场后的速度方向与x轴夹角为。根据几何关系可得：                  （2分）             （2分）代入相关数据并化简得：       （2分）  

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