题目

已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2-13n的大小. 答案：解：(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4.    两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,    即an+1=2an+1,    从而an+1+1=2(an+1).    当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.    又a1=5,∴a2=11.    从而a2+1=2(a1+1).    故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.    又∵a1=5,∴an+1≠0.    从而=2，即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知an=3×2n-1.∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.    从而f′(1)=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n)=3［n×2n+1-(2+…+2n)］-=3［n×2n+1-2n+1+2］-=3(n-1)·2n+1-+6.    由上2f′(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2n-(2n+1)］.                        (*)    当n=1时,(*)式=0,∴2f′(1)=23n2-13n;    当n=2时，(*)式=-12＜0，∴2f′(1)＜23n2-13n;    当n≥3时,n-1＞0.    又2n=(1+1)2=++…++≥2n+2＞2n+1,∴(n-1)［2n-(2n+1)］＞0,    即(*)式＞0,    从而2f′(1)＞23n2-13n.

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