题目

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上． （1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？ （2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值． 答案：【解】 （1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝． 以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝， 从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E． 所以， 设AF＝x，则F(，0，x)， . ，所以        要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F. 由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2， 故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………… 5分 （2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.     设平面B1CF的法向量为，则由得 令z=1得， 所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

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