题目

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2AP＝2，PD＝． 求证：（1）PA⊥平面PCD；    （2）求点C到平面PBD的距离． 答案：（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面PAD．又AP平面PAD，所以CD⊥AP． 因为底面ABCD为正方形，AB＝2，所以AD＝2． 因为AP＝1，PD＝，所以AP2＋PD2＝AD2，因此AP⊥PD． 又CD⊥AP，PD∩CD＝D，PD，CD平面PCD，所以PA⊥平面PCD． （2）  解：设点C到平面PBD的距离为h． 由（1）知CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD． V三棱锥B－PCD＝S△PCD·PA＝×(×2×)×1＝．因为AB∥CD，所以PD⊥AB． 由（1）知AP⊥PD，又AP∩AB＝A，AP，AB平面APB，所以PD⊥平面APB． 又PB平面APB，所以PD⊥PB． 因为底面ABCD为正方形，且边长为2，所以BD＝2，又PD＝，所以PB＝． 于是V三棱锥C－PBD＝S△BPD·h＝×(××)h＝h． 因为V三棱锥B－PCD＝V三棱锥C－PBD，所以h＝，解得h＝． 即点C到平面PBD的距离为．

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