题目

．如图，在▱ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P． （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论． 答案：【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等可得∠BAC=∠D，对边相等可得AB=CD，AC=BD，再根据中点定义求出AE=DF，然后利用“边角边”证明即可； （2）∠P=90°时，四边形BECF是菱形．先判断出四边形ABCP是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠P，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=CE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BECF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明． 【解答】（1）证明：在▱ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴AE=DF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）；   （2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下： 在▱ABCD中，AB∥CD， ∵AP∥BC， ∴四边形ABCP是平行四边形， ∴∠ABC=∠P=90°， ∵E是AC的中点， ∴BE=CE=AC， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴BF=CE， 又∵AC∥BD， ∴四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

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