题目

已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 （Ⅰ）求圆M的标准方程； （Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1 x2，求直线L的方程． 答案：解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0）， ∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切 ∴=3． 解得a=2，或a=﹣8（舍去）， 所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣）， 此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3， 由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9， 整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1） 所以 由已知得： 整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中， 判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：， 即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0 综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0

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