题目

已知二次函数满足. （1）求的解析式； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）设（ 且a≠1），（且），当时，有最大值14，试求a的值. 答案：（1）f（x）；（2）p≤﹣7，或者p≥﹣3；（3）a＝3或 【分析】 （1）利用代入化简得到答案. （2）化简得到，得到对称轴或计算得到答案. （3），设化简为二次函数计算得到答案. 【详解】 （1）∵f（x）＝ax2+bx满足f（x﹣1）＝f（x）+x﹣1， ∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+bx+x﹣1，即ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b＝ax2+（b+1）x﹣1， 所以﹣（2a﹣b）＝b+1，a﹣b＝﹣1，得a，， 所以f（x）． （2）因为g（x）＝﹣2f（x）+px＝﹣2（）+px＝x2+（p﹣1）x，x∈上单调， 所以其对称轴x2，或者，所以p≤﹣7，或者p≥﹣3． （3）F（x）＝4f（ax）+3a2x﹣1＝a2x+2ax﹣1，（a＞0且a≠1）， 当x∈时，令t＝ax，y＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2， 当a＞1时，t，ymax＝F（a）＝（a+1）2﹣2＝14，得a＝3； 当0＜a＜1时，t，，得a． 故a＝3或． 【点睛】 本题考查了函数解析式，单调性，最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

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