题目

（本小题满分14分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小； (Ⅲ)求二面角的大小． 答案：解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形， ．   ………………………1分 ∵平面平面，     又∵， 平面．……………………3分 平面， ． …………………………4分 平面．    ………………5分  (Ⅱ)连结， 平面， 是直线与平面所成的角．           ……………………………5分 设，则 ，，              ……………………………………………6分 ， ．            即直线与平面所成的角为．   …………………………………………8分  (Ⅲ)过作于，连结．    ………………………………………9分 平面， ． 平面． 是二面角的平面角． ……10分 ∵平面平面，平面． ． 在中， ，有． 由(Ⅱ)所设可得 ，， ．             …………………………………………12分 ． ． ∴二面角等于．           ……………………………………………14分 解法二: ∵四边形是正方形 ， ， ∵平面平面， 平面，                      ………………………………………2分 ∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则 ， 是正方形的对角线的交点， ．…………………………………4分  (Ⅰ) ，，， ，                 ………………………………………6分 平面．                      …………………………………7分 (Ⅱ) 平面， 为平面的一个法向量，         ……………………………………………8分 ， ．        ……………………………………………9分 ． ∴直线与平面所成的角为．      ………………………………………10分  (Ⅲ) 设平面的法向量为，则且， 且．       即 取，则， 则．      ……………………………………………12分 又∵为平面的一个法向量，且， ， 设二面角的平面角为，则， ． ∴二面角等于．           ……………………………………………14分

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