题目

已知函数，（为常数） （1）当时恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数有对称中心为A（1，0），求证：函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线。（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧） 答案：解：（1）设 所以 令： 所以：当时，在是增函数最小值为，满足。       当时，在区间为减函数，在区间为增函数 所以：最小值，故不合题意。 所以：实数的取值范围是：             ┄┄┄┄┄┄┄ 6分 （2）因为关于A（1，0）对称，则是奇函数，所以 所以 ，则 若为A点处的切线则其方程为： 令， 所以为增函数，而所以直线穿过函数的图象。┄┄┄┄┄ 9分 若是函数图象在的切线，则方程： 设， 则 令得： 当时： 从而处取得极大值，而， 则当时，所以图象在直线的同侧 所在不能在穿过函数图象， 所以不合题意，同理可证也不合题意。 所以（前面已证）所以即为点。、 所以原命题成立。                                

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