变量间的相关关系知识点题库

下列选项中，两个变量具有相关关系的是(　　)

A . 正方形的面积与周长 B . 匀速行驶车辆的行驶路程与时间 C . 人的身高与体重 D . 人的身高与视力

两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法
（1）若r>0，则x增大时，y也相应增大；（2）若r<0，则x增大时，y也相应增大；
（3）若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应( 有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.其中正确的有( )

A . ① B . ②③ C . ①③ D . ①②③

下列四个命题中，正确的有( )
①两个变量间的相关系数 $\text{[math]}$ 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题p：“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定 $\text{[math]}$ ：“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”；
③用相关指数 $\text{[math]}$ 来刻画回归效果，若 $\text{[math]}$ 越大，则说明模型的拟合效果越好；
④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ③④

下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x	1	2	3	4
用水量y	4.5	4	3	2.5

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－0.7x＋a ，则a等于( )

A . 10.5 B . 5.15 C . 5.2 D . 5.25

下列反映两个变量的相关关系中，不同于其它三个的是（　　）

A . 名师出高徒 B . 水涨船高 C . 月明星稀 D . 登高望远

有下列关系：

①苹果的产量与气候之间的关系；

②学生与他（她）的学号之间的关系；

③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；

④曲线上的点与该点的坐标之间的关系．

其中有相关关系的是（填上你认为正确的所有序号）

为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K²独立性检验法算得K²的观测值为5，又已知P（K²≥3.841）=0.05，P（K²≥6.635）=0.01，则下列说法正确的是（　　）

A . 有95%的把握认为“X和Y有关系” B . 有95%的把握认为“X和Y没有关系” C . 有99%的把握认为“X和Y有关系” D . 有99%的把握认为“X和Y没有关系”

一辆汽车的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

X（年）	2	3	4	5	6
Y（万元）	0.22	0.38	0.55	0.65	0.70

若已知y与x之间有线性相关关系，试求：

（Ⅰ）线性回归方程；

（Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？

有五组变量：

①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；

②平均日学习时间和平均学习成绩；

③某人每日吸烟量和身体健康情况；

④圆的半径与面积；

⑤汽车的重量和每千米耗油量．

其中两个变量成正相关的是( )

A . ①③ B . ②④ C . ②⑤ D . ④⑤

要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高一年级期末数学考试成绩(y)(如下表)：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	63	67	45	88	81	71	52	99	58	76
y	65	78	52	85	92	89	73	98	56	75

（1）画出散点图；
（2）判断入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)是否有线性相关关系；
（3）如果x与y具有线性相关关系，求出回归直线方程；

以下四个命题中：

①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；

②已知命题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

③在 $\text{[math]}$ 上随机取一个数 $\text{[math]}$ ，能使函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点的概率为 $\text{[math]}$ ；

④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.

$\text{[math]}$	0.15	0.1	0.05	0.025
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024

其中真命题的序号为（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①②④ D . ①③④

已知y关于x的回归直线方程为 $\text{[math]}$ =0.82x+1.27，且x ， y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）

x	0	1	2	3
y	0.8	m	3.1	4.3

A . 变量x ， y之间呈正相关关系 B . 可以预测当x=5时， $\text{[math]}$ =5.37 C . m=2 D . 由表格数据可知，该回归直线必过点( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

对变量x， y 有观测数据(x_i ， y_i)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ， v有观测数据(u_i ， v_i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A . 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B . 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C . 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D . 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

某城市随机抽取一年（ $\text{[math]}$ 天）内 $\text{[math]}$ 天的空气质量指数 $\text{[math]}$ 的监测数据，结果统计如下：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失 $\text{[math]}$ （单位：元）与空气质量指数 $\text{[math]}$ （记为 $\text{[math]}$ ）的关
系式为：

$\text{[math]}$

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 $\text{[math]}$ 大于 $\text{[math]}$ 元且不超过 $\text{[math]}$ 元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有 $\text{[math]}$ 天是在供暖季，其中有 $\text{[math]}$ 天为重度污染，完成下面 $\text{[math]}$ 列联表，并判断能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			$\text{[math]}$

附：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量 $\text{[math]}$ （单位：亿元）对年销售额 $\text{[math]}$ （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 均为常数， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数．

图片_x0020_143500585
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量 $\text{[math]}$ 和年销售额 $\text{[math]}$ 的数据， $\text{[math]}$ ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，经计算得如下数据：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的相关系数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的相关系数为 $\text{[math]}$ ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额 $\text{[math]}$ 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量 $\text{[math]}$ 是多少亿元？

附：①相关系数 $\text{[math]}$ ，回归直线 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

② 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 $\text{[math]}$ 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当 $\text{[math]}$ 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于 $\text{[math]}$ 我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.

【参考公式】

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

【参考数据】

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.01	0.005
$\text{[math]}$	2.706	3.811	6.635	7.879

（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与 $\text{[math]}$ 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为男生的身高对 $\text{[math]}$ 指数有影响.

身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计
（2） ①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高 $\text{[math]}$
166
167
160
173
178
169
158
173
体重 $\text{[math]}$
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ .利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字） $\text{[math]}$ ；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重 $\text{[math]}$
57
58
53
61
66
57
50
66
残差 $\text{[math]}$
0.1
0.3
0.9
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 $\text{[math]}$ .请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.

某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 $\text{[math]}$ ，以下结论中正确的为（）

A . 15名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B . 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 C . 身高为190厘米的人臂展一定为189.65厘米 D . 15名志愿者身高和臂展成正相关关系

2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为 $\text{[math]}$ ，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

	满意	不满意	总计
男生
女生
合计			120

附公式及表： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的分布列及期望值．
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）

A . 相关系数r变大 B . 残差平方和变大 C . 相关指数R²变小 D . 解释变量x与预报变量y的相关性变强

成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即教师的名声与学生的水平之间有关联．下列能描述出生活中两种属性或现象之间关联的成语是（）

A . 登高望远 B . 亡羊补牢 C . 目瞪口呆 D . 袖手旁观

	身高较矮	身高较高	合计
体重较轻
体重较重
合计

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $\text{[math]}$	166	167	160	173	178	169	158	173
体重 $\text{[math]}$	57	58	53	61	66	57	50	66

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
体重 $\text{[math]}$	57	58	53	61	66	57	50	66
残差 $\text{[math]}$	0.1	0.3	0.9	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

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