超几何分布的应用知识点题库

“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：

（1）
估计在40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）
若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．

为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.

分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
甲班频数	5	6	4	4	1
乙班频数	1	3	6	5	5

（1）由以上统计数据填写下面 $\text{[math]}$ 列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

附： $\text{[math]}$ .

临界值表

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635

（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是 $\text{[math]}$ ，则袋中的白球个数为，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝．

盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是 $\text{[math]}$ 的事件为( )

A . 恰有1个是坏的 B . 4个全是好的 C . 恰有2个是好的 D . 至多有2个是坏的

改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 $\text{[math]}$ 亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设 $\text{[math]}$ 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布 $\text{[math]}$ ，并把质量指标值在 $\text{[math]}$ 内的产品称为优等品，质量指标值在 $\text{[math]}$ 内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：

图片_x0020_100005

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数 $\text{[math]}$ ；
（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的近似值，用样本标准差s作为 $\text{[math]}$ 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；
参考数据：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（3）假如企业包装时要求把3件优等品5件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望.

2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生	20
女生		15
合计			120

（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的分布列及期望值.

一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）

A . 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B . 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C . 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 $\text{[math]}$ D . 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 $\text{[math]}$

近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为 $\text{[math]}$ ．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．

（1）用 $\text{[math]}$ 表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望；
（2）设 $\text{[math]}$ 为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率．

某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
个数	10	30	40	20

（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， $\text{[math]}$ 表示抽取的是精品果的数量，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ．

为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值 $\text{[math]}$ ，标准差 $\text{[math]}$ ，以频率值作为概率的估计值．

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ．

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于等于 $\text{[math]}$ 或直径大于 $\text{[math]}$ 的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望 $\text{[math]}$ ；

②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望 $\text{[math]}$ ．

2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（2） “单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记 $\text{[math]}$ 为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为 $\text{[math]}$ ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

有 $\text{[math]}$ 件产品，其中有 $\text{[math]}$ 件次品，从中不放回地抽 $\text{[math]}$ 件产品，抽到的正品数的数学期望值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

下列说法正确的是（）

A . 若随机变量 $\text{[math]}$ 的概率分布列为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若随机变量 $\text{[math]}$ ~ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ~ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 在含有4件次品的10件产品中，任取 $\text{[math]}$ 件， $\text{[math]}$ 表示取到的次品数，则 $\text{[math]}$ ．

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