独立性检验的应用知识点题库

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
合计	70	30	100

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：K²= $\text{[math]}$

P（K²＞k₀）

0.10

0.05

0.01

0.005

k₀

2.706

3.841

6.635

7.879

某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼

的时间（分钟）

[0，10）

[10，20）

[20，30）

[30，40）

[40，50）

[50，60）

总人数

将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
女
20
110
合计
参考公式： $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．

微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

	微信控	非微信控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装，记这3 人中“微信控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．
参考公式： $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k₀
0.455
0.708
1.323
3.841
5.024
6.635

在2×2列联表：

	y₁	y₂	总计
x₁	a	b	a+b
x₂	c	d	c+d
总计	a+c	b+d	a+b+c+d

数值 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相差越大，则两个变量有关系的可能性就（）

A . 越大 B . 越小 C . 无法判定 D . 以上均不对

某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

性别

专业

非统计专业

统计专业

男

女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 $\text{[math]}$ =，所以有的把握判定主修统计专业与性别有关．

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下2×2列联表

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关．

某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．

（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
（参考公式：K²= $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d）
P（K²≥k）
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．

某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．

（1）试根据上述数据完成2×2列联表；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
比较粗心
合计
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
参考数据：独立检验随机变量K²的临界值参考表：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$\text{[math]}$ （其中n=a+b+c+d）

随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐．为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户，按年龄分组进行访谈，统计结果如表．

组号	年龄	访谈人数	愿意使用
1	[18，28）	4	4
2	[28，38）	9	9
3	[38，48）	16	15
4	[48，58）	15	12
5	[58，68）	6	2

（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？

（Ⅱ）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．

（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1%的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？

	年龄不低于48岁的人数	年龄低于48岁的人数	合计
愿意使用的人数
不愿意使用的人数
合计

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中：n=a+b+c+d．

P（k²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．

（Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

	优秀	合格	合计
大学组
中学组
合计

注：K² $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．

P（k²≥k₀）	0.10	0.05	0.005
k₀	2.706	3.841	7.879

（Ⅱ）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

（Ⅲ）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率．

4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区进行了“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，得下列 $\text{[math]}$ 列联表：

	年轻人	非年轻人	合计
经常使用单车用户	100	20	120
不常使用单车用户	60	20	80
合计	160	40	200

则得到的 $\text{[math]}$ ．(小数点后保留一位)

(附： $\text{[math]}$ )

某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.

（1）根据以上数据建立一个 $\text{[math]}$ 列联表.
（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？
下面临界值表仅供参考：
$\text{[math]}$
0.05
0.01
0.001
$\text{[math]}$
3.841
6.635
10.828
参考公式： $\text{[math]}$ .

司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 $\text{[math]}$ 名机动车司机，得到以下统计：在 $\text{[math]}$ 名男性司机中，开车时使用手机的有 $\text{[math]}$ 人，开车时不使用手机的有 $\text{[math]}$ 人；在 $\text{[math]}$ 名女性司机中，开车时使用手机的有 $\text{[math]}$ 人，开车时不使用手机的有 $\text{[math]}$ 人．

参考公式与数据：

参考数据：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

参考公式

$\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）完成下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

	开车时使用手机	开车时不使用手机	合计
男性司机人数
女性司机人数
合计

（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 $\text{[math]}$ ，若每次抽检的结果都相互独立，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记

主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵，国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:

	未感染病毒	感染病毒	总计
未注射疫苗	40	p	x
注射疫苗	60	q	y
总计	100	100	200

现从未注射疫苗的小白鼠中任取 $\text{[math]}$ 只，取得“感染病毒”的小白鼠的概率为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 列联表中的数据 $\text{[math]}$ 的值；
（2）能否有 $\text{[math]}$ 把握认为注射此种疫苗有效？

2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ）

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 $\text{[math]}$ 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

	擅长	不擅长	合计
男性		30
女性			50
合计			100

雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．

	男	女
文科	2	5
理科	10	3

参考公式和数据： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.07	2.71	3.84	5.02	6.64	7.88	10.83

（Ⅰ）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；

（Ⅱ）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？

2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生	20
女生		15
合计			120

（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的分布列及期望值.

为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 $\text{[math]}$ 名学生（男生 $\text{[math]}$ 人，女生 $\text{[math]}$ 人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：

是否达标

性别

不达标

达标

男生

女生

（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？
附： $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

$\text{[math]}$

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828
（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量 $\text{[math]}$ 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日3时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，下图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．

	得分不超过85分的人数	得分超过85分的人数	合计
女生
男生
合计

（1）请将上面列联表填写完整．
（2）依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？
（3）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
下表是 $\text{[math]}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

x_α

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：

支付方式	性别		合计
支付方式	男性	女性	合计
刷脸支付		25	70
非刷脸支付	10
合计			100

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.025	0.010	0.001
$\text{[math]}$	3.8410	5.024	6.635	10.828

（1）依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为性别与使用刷脸支付有关联？
（2）根据是否刷脸支付，在样本的女性中，按照分层抽样的方法抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男
女		20	110
合计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k₀	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

P（K²≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

	数学成绩及格	数学成绩不及格	合计
比较细心
比较粗心
合计

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