独立性检验的基本思想知识点题库

通过随机询问250名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明书，得到如下2×2联表：

	女	男	总计
读营养说明书	90	60	150
不读营养说明书	30	70	100
总计	120	130	250

从调查的结果分析，认为性别和读营养说明书的关系（　　）

A . 95%以上认为无关 B . 90%～95%认为有关 C . 95%～99.9%认为有关 D . 99.9%以上认为有关

下列说法正确的是．

①6名学生争夺3项冠军，冠军的获得情况共有3⁶种．

②若x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）^x+y的值为﹣4．

③|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越弱；|r|越接近0，线性相关程度越强．

④在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大

⑤在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小．

有两个分类变量X与Y的一组数据，由其列联表计算得k≈4.523，则认为“X与Y有关系”犯错误的概率为（）

A . 95% B . 90% C . 5% D . 10%

为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动.

附：

$\text{[math]}$	0.050 0.010 0.001
$\text{[math]}$	3.841 6.635 10.828

$\text{[math]}$ .

（1）根据以上数据完成以下 $\text{[math]}$ 列联表：

	喜爱运动	不喜爱运动	总计
男	10		16
女	6		14
总计			30

（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？

2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大基于以上现象，开学后某学校对本校学生网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下 $\text{[math]}$ 列联表：

	认真上网课	不认真上网课	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）

参考公式： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.05	0.01	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

A . 有关的可靠性不足95% B . 有99%的把握认为两者有关 C . 有99.9%的把握认为两者有关 D . 有5%的把握认为两者无关

某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的 $\text{[math]}$ ，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的 $\text{[math]}$ ．若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（）

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.010
$\text{[math]}$	3.841	6.635

A . 35 B . 40 C . 45 D . 50

第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

收看时间（单位：小时）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
收看人数	14	30	16	28	20	12

附表及公式：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$\text{[math]}$ .

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全 $\text{[math]}$ 列联表：

	男	女	合计
体育达人	40
非体育达人		30
合计

并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.

“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表.

（1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关?

年龄	考虑骑车		不考虑骑车
15以下	6		3
$\text{[math]}$	16		6
$\text{[math]}$	13		6
$\text{[math]}$	14		16
$\text{[math]}$	5		9
75以上	1		5
合计	55		45
	骑车	不骑车		合计
45岁以下
45岁以上
合计				100

参考： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.07	2.70	3.84	5.02	6.63	7.87	10.82

（2） S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km，现有两种.上班方案给他选择；
方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.

某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的 $\text{[math]}$ 列联表.则根据列联表可知（）

	年轻人	非年轻人	总计
经常用流行语	125	25	150
不常用流行用语	35	15	50
总计	160	40	200

参考公式：独立性检验统计量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

下面的临界值表供参考：

P（x²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A . 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B . 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C . 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D . 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.

下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）

年份	2014	2015	2016	2017	2018
线下销售额	90	170	210	280	340

为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.

（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；

（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$

参考数据：

P（K²≥K₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

从某学校获取了容量为390的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理，其中有四个数据记为 $\text{[math]}$ ，得到如下列联表；

数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	不优秀	优秀	合计
不优秀	210	$\text{[math]}$	270
优秀	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	120
合计	$\text{[math]}$	130	390

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

下表给出了 $\text{[math]}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

α

0.1

0.05

0.1

0.005

0.1

x_α

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推出新产品，吸引更多的消费者前来消费．某商店推出了一种新产品，并选择对某一天来消费这种新产品的100名顾客进行满意度调查，为此相关人员制作了如下的 $\text{[math]}$ 列联表．

	满意	不满意	总计
男顾客	20
女顾客		10
总计

已知从这100名顾客中随机抽取1人为满意的概率为 $\text{[math]}$ ．

（1）请完成如上的 $\text{[math]}$ 列联表；
（2）依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为满意度与性别有关联？
（3）为了进一步改良这种新产品，商家在当天不满意的顾客中，按照性别利用分层抽样抽取了8人进行回访，并从这8人中再随机抽取2人送出奖品，求获奖者恰好是1男1女的概率．
附： $\text{[math]}$ ．

P（K²≥k）

0.05

0.01

0.005

0.001

k

3.841

6.635

7.879

10.828

某学校食堂为提高服务质量，随机调查了20名教师和20名学生，每位师生对该学校食堂的服务给出了满意或不满意的评价，得到如下列联表：

	满意	不满意
教师	14	6
学生	8	12

（1）分别估计教师､学生对该食堂服务满意的概率；若从对食堂服务不满意的6名教师和12名学生中，随机抽取3人作为代表与食堂进行沟通，求抽取人员中学生人数X的分布列及期望值.
（2）能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为教师､学生对该食堂的评价有差异.
附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

0.050

0.010

0.001

$\text{[math]}$

3.841

6.635

10.828

2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ $\text{[math]}$ ”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

性别科目	男生	女生	合计
物理	300
历史		150
合计	400		800

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	_6.635	_10.828

（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.如表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶人次	125	106	100	90	80

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份 $\text{[math]}$ 之间的关系，求y关于 $\text{[math]}$ 的回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测该路口9月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：

不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
26
24
驾龄2年以上
24
16
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.

某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学抽取20名学生，对他们的课外阅读A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）.调查结果如下表：

	A类	B类	C类
男生	3	5	4
女生	1	3	4

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$

a	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x₀	2.706	3.841	6.635	7.897	10.828

（1）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；

男生
女生
总计
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
（2）从抽出女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中B类人数和C类人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.

盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知 $\text{[math]}$ 系列盲盒共有12个款式，为调查 $\text{[math]}$ 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00后占 $\text{[math]}$ ．

（1）请根据以上信息填表，并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？

00前
00后
总计
购买
未购买
总计
100
附： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
0.10
0.05
0.010
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
6.635
10.828
（2）一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别已经买到 $\text{[math]}$ 个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为 $\text{[math]}$ ．
①求 $\text{[math]}$ ；
②设 $\text{[math]}$ 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的 $\text{[math]}$ 列联表：

	喜欢	不喜欢	合计
男生	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
女生	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用 $\text{[math]}$ 表示3人中女生的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

某企业需要一批配件，由A，B两个工厂分别生产，该配件的一项检测指标为内径尺寸（单位：mm），规定内径尺寸值在 $\text{[math]}$ mm的配件为合格品，现从两个工厂生产的配件中各抽取了500件，检测其内径尺寸，得结果如下表：

A工厂：

分组	[19.80，19.85）	[19.85，19.90）	[19.90，19.95）	[19.95，20.00）	[20.00，20.05）	[20.05，20.10）	[20.10，20.15）	[20.15，20.20）
频数	22	43	70	122	104	75	43	21

B工厂：

分组	[19.80，19.85）	[19.85，19.90）	[19.90，19.95）	[19.95，20.00）	[20.00，20.05）	[20.05，20.10）	[20.10，20.15）	[20.15，20.20）
频数	4	54	82	118	105	79	48	10

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（1）试分别估计A，B两工厂生产的配件的合格率，由此能否判断哪个工厂生产的配件质量较好；
（2）完成下列的列联表，并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析A，B两工厂生产的配件是否有差异．
产品
生产工厂
合计
A工厂
B工厂
合格品
次品
合计

某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验.把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲､乙两组的康复人数分别为20和5.

附表：

$\text{[math]}$	0.100	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10828

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组.旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片､丸､针剂.

（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为使用这种中药与A疾病康复有关联？

康复
末康复
单位：
甲组
乙组
合计
（2）若将乙组末用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有 $\text{[math]}$ 疾病的人群中随机抽取4人，记其中能自愈的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过2年	26	24
驾龄2年以上	24	16

产品	生产工厂		合计
产品	A工厂	B工厂	合计
合格品
次品
合计

	00前	00后	总计
购买
未购买
总计			100

	康复	末康复	单位：
甲组
乙组
合计

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