直线与平面所成的角知识点题库

已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ，则AC与平面BDC₁所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点S在底面的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是（）

A . 75° B . 60° C . 45° D . 30°

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，E、F分别为BC与PD的中点．

（1）求证：PE⊥DE；
（2）求直线CF与平面PAC的夹角θ的余弦值．

如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．

（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．

如图，由直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁和四棱锥D﹣BB₁C₁C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB₁=2，C₁D=CD= $\text{[math]}$ ，平面CC₁D⊥平面ACC₁A₁ ．

（Ⅰ）求证：AC⊥DC₁；

（Ⅱ）若M为DC₁的中点，求证：AM∥平面DBB₁；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB₁D所成的角为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由．

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD是边长为2的正方形，

PA＝AD ， F为PD的中点．

（1）求证：AF⊥平面PDC；
（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．

在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当四面体 $\text{[math]}$ 体积最大时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角是．

如图，已知多面体ABC-A₁B₁C₁ ， A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

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（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 $\text{[math]}$ 所成的角都相等，则 $\text{[math]}$ 截此正方体所得截面面积的最大值为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角是直角，我们称平面 $\text{[math]}$ 垂直于平面 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ .

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（1）如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将长方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求此时直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .

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（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值.

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点.

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（Ⅰ）求证: $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求证:平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为45° D . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为60°

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）已知二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在圆柱 $\text{[math]}$ 中，底面半径为1， $\text{[math]}$ 为圆柱母线.

（1）若 $\text{[math]}$ ，M为 $\text{[math]}$ 中点，求直线 $\text{[math]}$ 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，等边三角形 $\text{[math]}$ 所在的平面垂直于底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， A为线段 $\text{[math]}$ 的中点，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形．将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使得 $\text{[math]}$ ，得到如图（2）所示的几何体．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（2）当F为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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