题目

如图，在四棱锥 ， 底面为梯形，且 ， ， 等边三角形所在的平面垂直于底面 ， . （1） 求证：平面； （2） 若直线与平面所成角的正弦值为 ， 求二面角的余弦值. 答案： 证明：如图所示，取CD中点O，连接PO， ∵△PCD是正三角形，∴PO⊥CD 又平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD， ∴PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC， ∵BC⊥PD，且PO∩PD=P， ∴BC⊥平面PCD 解：如图所示，连接OB，BD，过点D，P作DM⊥AB，PN⊥AB，分别与AB交于点M，N，过点M作MQ//NP，交AP于点Q，连接DQ， 设AD=2BC=2，CD=2a，a>0，则OP=3a， 由（1）得OP⊥平面ABCD，∴∠OBP即为直线PB与平面ABCD所成角的平面角， BC⊥平面PCD，∴BC⊥CP， 则PB=4a2+1，sin∠OBP=OPBP=3a4a2+1=155， 解得：a=1， 故BD=5，AB=5，且BD2−BM2=DA2−AM2，即5−BM2=4−(5−BM)2，解得BM=355，AM=255，DM=455， 又BC//AD，所以AD⊥平面PCD，AD⊥PD， PA=22，且PB2−BN2=PA2−AN2，即5−BN2=8−(5−BN)2，解得BN=55，AN=455，PN=2305， 所以点M为线段AN的中点，故点Q也为线段AP中点， 所以QM=12PN=305，DQ=2， 所以∠DMQ即为二面角P−AB−D的平面角， cos∠DMQ=DM2+QM2−DQ22DM⋅QM=(455)2+(305)2−(2)22×455×305=64

查看本题答案和解析