相互独立事件的概率乘法公式知识点题库

如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

国家质量技术监督总局对某工厂生产的六年、九年、十二年三种被怀疑有问题的白酒进行甲醇和塑化剂含量检测，测试过程相互独立，其中通过甲醇含量检测的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过塑化剂含量检测的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两项检测均通过的白酒则认为其达标．

（1）求三种白酒仅有一种达标的概率；
（2）检测后不达标的白酒将停产整改，求停产整改的白酒种数X的分布列及数学期望．

盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品．

甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；乙笔试、面试通过的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是．

某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取 $\text{[math]}$ 人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥ $\text{[math]}$ ，体质健康为合格.

等级	数据范围	男生人数	男生平均分	女生人数	女生平均分
优秀	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
良好	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
及格	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
不及格	$\text{[math]}$ 以下	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
总计	--	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；

(II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；

（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于 $\text{[math]}$ ），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）

设甲、乙两位同学上学期间，每天 $\text{[math]}$ 之前到校的概率均为 $\text{[math]}$ .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）设甲同学上学期间的三天中 $\text{[math]}$ 之前到校的天数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时的概率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 $\text{[math]}$ 之前到校的天数比乙同学在 $\text{[math]}$ 之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知从 $\text{[math]}$ 地到 $\text{[math]}$ 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为 $\text{[math]}$ ，不准点到达的概率为 $\text{[math]}$ ；走道路②准点到达的概率为 $\text{[math]}$ ，不准点到达的概率为 $\text{[math]}$ .若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响.

（1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为 $\text{[math]}$ ，求走道路②准点到达的概率 $\text{[math]}$ ；
（2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.

2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )

A . 1－a－b B . 1－ab C . (1－a)(1－b) D . 1－(1－a)(1－b)

公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)示讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢 $\text{[math]}$ 局，谁便赢得全部赌注 $\text{[math]}$ 元.每局甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，乙赢的概率为 $\text{[math]}$ ，且每局赌博相互独立.在甲赢了 $\text{[math]}$ 局，乙赢了 $\text{[math]}$ 局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 $\text{[math]}$ 局则赌博意外终止的情况，甲､乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 $\text{[math]}$ 分配赌注.

（1）甲､乙赌博意外终止，若 $\text{[math]}$ ，则甲应分得多少赌注？
（2）记事件 $\text{[math]}$ 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 $\text{[math]}$ 时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率 $\text{[math]}$ ，并判断当 $\text{[math]}$ 时，事件 $\text{[math]}$ 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于 $\text{[math]}$ ，则称该随机事件为小概率事件.

随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件 $\text{[math]}$ “第一次为奇数”， $\text{[math]}$ “第二次为奇数”， $\text{[math]}$ “两次点数之和为奇数”，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互斥 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相互独立 D . $\text{[math]}$

口袋内有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，摸出红球或黄球的概率为0.6，摸出黄球或蓝球的概率为0.7，若从中依次有放回地摸出两个球，摸到每个球是相互独立的，则这两个球均为黄球的概率为.

某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为 $\text{[math]}$ 的概率为0.4.亩产量为 $\text{[math]}$ 的概率为0.6，市场销售价格 $\text{[math]}$ (单位：元/kg)与其概率 $\text{[math]}$ 的关系满足 $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ 表示此果农某季所获得的利润，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.

甲射击命中目标的概率是 $\text{[math]}$ ，乙射击命中目标的概率是 $\text{[math]}$ ，甲与乙射击相互独立，则甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是

十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.050	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	7.879	10.828

（1） ①求生产一件该芯片的次品率 $\text{[math]}$ ．
②试产100件该芯片，估计次品件数 $\text{[math]}$ 的期望．
（2）某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．

甲型号
乙型号
合计
满意
不满意
合计

将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5.若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用.

（1）求一个坑不需要补种的概率；
（2）求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；
（3）求X的数学期望.

在生产某种零件的工厂中，根据工人加工出的零件质量进行相应的奖励或惩罚．已知这种零件按照质量指标值可分为A，B，C，D四个等级，且根据等级A，B，C，D对相应工人分别奖励10元、奖励0元、罚款5元、罚款10元．设某工人加工的零件为等级B，C，D的概率分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且加工每个零件互不影响．

（1）若该工人加工一个零件，求其不被罚款的概率；
（2）若该工人加工两个零件，求其获得的奖励之和为0元的概率．

某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是 $\text{[math]}$ ，两次均击中目标的概率是 $\text{[math]}$ .则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

	甲型号	乙型号	合计
满意
不满意
合计

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