勾股定理的证明知识点题库

如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b=

如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃ ．若S₁+S₂+S₃=15，则S₂的值是（　　）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²

证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．

∵S_{四边形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC= $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab．

又∵S_{四边形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴ $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a（b﹣a）

∴a²+b²=c²

解决问题：请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a²+b²=c² ．

如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）²的值为（）

A . 75 B . 45 C . 35 D . 5

如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．

四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 $\text{[math]}$ EF，则正方形ABCD的面积为（）

A . 12S B . 10S C . 9S D . 8S

如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）²的值为（）

A . 23 B . 24 C . 25 D . 无答案

一个直角三角形的两条直角边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，斜边为 $\text{[math]}$ .我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图的正方形，

（1）探究活动：如图1，中间围成的小正方形的边长为（用含有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
（2）探究活动：如图1，用不同的方法表示这个大正方形的面积，并写出你发现的结论；
（3）新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题
①某个直角三角形的两条直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足式子 $\text{[math]}$ ，求它的斜边 $\text{[math]}$ 的值；
②由①中结论，求此三角形斜边 $\text{[math]}$ 上的高。
③如图2，这个勾股树图形是由正方形和直角三角形组成的，若正方形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求最大的正方形 $\text{[math]}$ 的边长。

阅读下列材料：

【材料】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理： $\text{[math]}$ .

【请回答】如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.

（1）【理解】
如图，两个边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $\text{[math]}$ 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2， $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $\text{[math]}$ ；
（3）【运用】
$\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 个顶点，在它的内部再画 $\text{[math]}$ 个点，以（ $\text{[math]}$ ）个点为顶点，把 $\text{[math]}$ 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $\text{[math]}$ 个这样的三角形.当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，如图，最多可以剪得 $\text{[math]}$ 个这样的三角形，所以 $\text{[math]}$ .

①当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，如图， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

②对于一般的情形，在 $\text{[math]}$ 边形内画 $\text{[math]}$ 个点，通过归纳猜想，可得 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）.请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为.

如图，对任意符合条件的直角三角形 $\text{[math]}$ ，饶其锐角顶点逆时针旋转90°得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是一个正方形，它的面积和四边形 $\text{[math]}$ 面积相等，而四边形 $\text{[math]}$ 面积等于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

图片_x0020_100013

如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.

图片_x0020_100014

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理.

“赵爽弦图”利用面积关系巧妙证明了勾股定理，如图 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 ab =8，小正方形的面积为 9，则大正方形的边长为（）

图片_x0020_1928661398

A . 9 B . 6 C . 5 D . 4

如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠C4D=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60。请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度。

小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理.设AE=a，DE=b，AD=c，请你找到其中一种方案证明：a²+b²=c².

图片_x0020_1670163189

如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃.若S₁+S₂+S₃=₁₅ ，则S₂的值是（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

如图1，用4个相同边长是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．

（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则 $\text{[math]}$ 值为；则 $\text{[math]}$ 的值为；
（2）若小长方形两边长为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则大正方形的边长为；
若满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
（3）如图2，正方形 $\text{[math]}$ 的边长是 $\text{[math]}$ ，它由四个直角边长分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三边的数量关系，并说明理由．

如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x

小明发明了求正方形边长的方法：

由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x

因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝ $\text{[math]}$

（1）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（2）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．

有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形A₁B₁C₁D₁和正方形A₂B₂C₂D₂ ．

（1）正方形A₁B₁C₁D₁的边长为．
（2）请你用两种不同的方法表示正方形A₂B₂C₂D₂面积，并写出a² ， b² ， c²之间的数量关系．
（3）若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形A₃B₃C₃D₃ ．若正方形A₁B₁C₁D₁的面积为49，正方形A₃B₃C₃D₃的面积为289，求正方形A₂B₂C₂D₂的面积．

勾股定理的证明 知识点题库

勾股定理的证明知识点题库