第二章 推理与证明 知识点题库

在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2.则它们的面积之比为1：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为（ ）

对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
①2²=1+3,3²=1+3+5,4²=1+3+5+7，......
②2³=3+5,3³=7+9+11,4³=13+15+17+19,......
根据上述分解规律，若m²=1+3+5+...+11,P³的分解中最小的正整数是21，则m+p=（   ）

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(  )

①已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；②由1=1² ， 1+3=2² ， 1+3+5=3² ， 可得到1+3+5+…+2n﹣1=n² ， 则①﹑②两个推理依次是（　　）

演绎推理“因为对数函数y=log_ax（a＞0且a≠1）是增函数，而函数y=x是对数函数，所以y=lx是增函数”所得结论错误的原因是（　　）

已知x＞0，由不等式x+ ≥2 =2，x+ = ≥3 =3，…，可以推出结论：x+ ≥n+1（n∈N^*），则a=（   ）

观察下列等式：1³+2³=3² ， 1³+2³+3³=6² ， 1³+2³+3³+4³=10² ， …，根据上述规律，第五个等式为

已知两个正数a，b，可按规律c=ab+a+b推广为一个新数c，在a，b，c三个数种取连个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．

（理）现在有A、B、C、D 四人在晚上都要从桥的左边到右边．此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒．四人过桥最快所需时间如下为：A 2 分；B 3 分；C 8 分；D 10分．走的快的人要等走的慢的人，要求四人在21分钟内全部从左边走到桥的右边，那么你来安排一下如何过桥：先是A和B一起过桥，然后独自返回．返回后将手电筒交给和，让他们一起过桥，到达对岸后，将手电筒交给，让他将手电筒带回，最后A、B再次一起过桥．

代数式 中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+ =t，则t²﹣t﹣1=0，取正值得t= ，用类似方法可得 =．

要证 成立， 应满足的条件是（     ）

已知函数 ，函数 ，其中 ， 是 的一个极值点，且 .

设函数 ， ，其中 ， 为正实数.

在正方形 中，P，Q分别为棱 和棱 的中点，则下列说法正确的是(    )

如图所示的数阵，第n行最右边的数是．

已知函数 ，则 的值为（   ）

请用分析法证明： .

下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：

在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择（   ）

英国数学家泰勒发现了公式： ，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．

．其发现过程简单分析如下：

当 时，有 ，

容易看出方程 的所有解为： ， ， ， ， ，

于是方程 可写成： ，

改写成： ．    （*）

比较方程（*）与方程 中 项的系数，即可得

．

下列类比推理正确的序号为（    ）

①“边长为的正三角形内任一点到三边距离之和是定值”类比空间，“棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值”；②在平面上，若两个正三角形的边长比为 ， 则他们的面积比为.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 ， 则他们的体积比为；③已知椭圆具有性质：若 ， 是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，则当 ， 的斜率都存在， ， 类似的，点若在双曲线上，则.④长宽分别为 ， 的矩形的外接圆的面积为 ， 类比空间中，长宽高分别为 ， ， 的长方体的外接球的面积为.