题目

已知函数 ，函数 ，其中 ， 是 的一个极值点，且 . （1） 讨论 的单调性 （2） 求实数 和a的值 （3） 证明 答案： 解：由已知可得函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f′(x)=2x−2lnx−2 ， 令 h(x)=f'(x) ，则有 h'(x)=2(x−1)x ，由 h'(x)=0 ，可得 x=1 ， 可知当x变化时， h'(x),h(x) 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,+∞) h'(x) - 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ ∴h(x)≥h(1)=0 ，即 f'(x)≥0 ，可得 f(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增 解：由已知可得函数 g(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 g′(x)=1−ax2−2lnxx ， 由已知得 g'(x)=0 ，即 x02−2x0lnx0−a=0 ，① 由 g(x0)=2 可得， x02−x0(lnx0)2−2x0+a=0 ，② 联立①②，消去a，可得 2x0−(lnx0)2−2lnx0−2=0 ，③ 令 t(x)=2x−(lnx)2−2lnx−2 ，则 t'(x)=2−2lnxx−2x=2(x−lnx−1)x ， 由（1）知， x−lnx−1≥0 ，故 t'(x)≥0 ， ∴t(x) 在区间 (0,+∞) 单调递增， 注意到 t(1)=0 ，所以方程③有唯一解 x0=1 ，代入①，可得 a=1 ， ∴x0=1,a=1 ； 证明：由（1）知 f(x)=x2−2xlnx 在区间 (0,+∞) 单调递增， 故当 x∈(1,+∞) 时， f(x)>f(1)=1 ， g′(x)=x2−2xlnx−1x2=f(x)−1x2>0 ， 可得 g(x) 在区间 (1,+∞) 单调递增， 因此，当 x>1 时， g(x)>g(1)=2 ，即 x+1x−(lnx)2>2 ，亦即 (x−1x)2>(lnx)2 ， 这时 x−1x>0,lnx>0 ，故可得 x−1x>lnx ，取 x=2k+12k−1,k∈N* ， 可得 2k+12k−1−2k−12k+1>ln(2k+1)−ln(2k−1) ，而 2k+12k−1−2k−12k+1=24k2−1 ， 故 ∑k=1n24k2−1>∑k=1n(ln(2k+1)−ln(2k−1))=ln(2π+1) ∴∑i=1n14k2−1>12ln(2x+1)( n∈N∗) .

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