2.3 变量的相关性知识点题库

已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：

x	0	1	2	3	4
y	2.2	4.3	4.5	4.8	6.7

且回归直线方程为 $\text{[math]}$ =bx+2.6，根据模型预报当x=6时，y的预测值为（）

A . 5.76 B . 6.8 C . 8.3 D . 8.46

已知x，y的取值如下表所示：

x	2	3	4
y	5	4	6

如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

以模型y=ce^kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是和．

工人的月工资y（元）与劳动生产率x（千元）的回归方程为 $\text{[math]}$ =50+80x，下列判断正确的是（）

A . 劳动生产率为1000元时，工资为130元 B . 劳动生产率提高1000元，则工资提高80元 C . 劳动生产率提高1000元，则工资提高130元 D . 当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表．

印刷册数x（千册）	2	3	4	5	8
单册成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲： $\text{[math]}$ ^（¹^）= $\text{[math]}$ +1.1，方程乙： $\text{[math]}$ ^（²^）= $\text{[math]}$ +1.6．

（Ⅰ）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．

（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 $\text{[math]}$ ^（¹^）		2.4	2.1		1.6
模型甲	残值 $\text{[math]}$ ^（¹^）		0	﹣0.1		0.1
模型乙	估计值 $\text{[math]}$ ^（²^）		2.3	2	1.9
模型乙	残值 $\text{[math]}$ ^（²^）		0.1	0	0

（ii）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁和Q₂ ，并通过比较Q₁ ， Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．

（Ⅱ）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．（按（Ⅰ）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ =﹣2x+60．不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知2c+d=．

x	c	13	10	﹣1
y	24	34	38	d

下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．

时间x（秒）	5	10	15	20	30
深度y（微米）	6	10	10	13	16

（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图；
（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．
回归方程： $\text{[math]}$ =bx+a，其中 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a= $\text{[math]}$ ﹣b $\text{[math]}$ ．

在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2×2列联表：

为了判断休闲方式是滞与性别有关，根据表中数据，

得到 $\text{[math]}$ 所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断出错的可能性至多为（）

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 1% B . 99% C . 5% D . 95%

已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的一组数据：

已求得关于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 0.85 C . 0.7 D . 0.5

某种产品的广告费支出 $\text{[math]}$ 与销售额 $\text{[math]}$ 之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则表中a的值为（）

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

A . 50 B . 54 C . 56.5 D . 64

为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为 $\text{[math]}$ ）的身高 $\text{[math]}$ 和体重 $\text{[math]}$ 数据.如下表，某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，且根据回归方程预估一名身高为 $\text{[math]}$ 的学生体重为 $\text{[math]}$ ，计算得到的其他数据如下： $\text{[math]}$ .

学生的编号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $\text{[math]}$	164	176	165	163	170	172	168	182
体重 $\text{[math]}$	60	72	77	54	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	72	55

附：回归直线方程 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值及表格中8名学生体重的平均值 $\text{[math]}$ ；
（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的学生体重数据有误，应为 $\text{[math]}$ ，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为 $\text{[math]}$ 的学生的体重.

假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

附注：①参考公式：回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ；

②参考数据： $\text{[math]}$

（1）画出散点图并判断是否线性相关；
（2）如果线性相关，求线性回归方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ .

回归直线方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）由图可以看出，这种酶的活性 $\text{[math]}$ 与温度 $\text{[math]}$ 具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；
（2）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，并预测当温度为 $\text{[math]}$ 时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01）

已知具有线性相关关系的两个变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的一组数据如下表：

$\text{[math]}$	0	1	2	3	4
$\text{[math]}$	2.2	$\text{[math]}$	4.5	4.8	6.7

若回归直线方程是 $\text{[math]}$ ，则下列说法不正确的是（）．

A . $\text{[math]}$ 的值是4.3 B . 变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正相关关系 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值一定是8.3 D . 若 $\text{[math]}$ 的值增加1，则 $\text{[math]}$ 的值约增加0.95

在两个变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数 $\text{[math]}$ 如下，其中拟合效果最好的是（）

A . 模型1的相关指数 $\text{[math]}$ B . 模型2的相关指数 $\text{[math]}$ C . 模型3的相关指数 $\text{[math]}$ D . 模型4的相关指数 $\text{[math]}$

已知变量 $\text{[math]}$ 关于变量 $\text{[math]}$ 的回归方程为 $\text{[math]}$ ，其一组数据如下表所示：

$\text{[math]}$	1	2	3	4
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

为了研究某班男生的体重 $\text{[math]}$ 与身高 $\text{[math]}$ 的关系，随机调查了该班部分男生的体重与身高数据，根据散点图可以看出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 线性相关.当体重单位为“ $\text{[math]}$ ”，身高单位为“ $\text{[math]}$ ”时，得到的回归方程为 $\text{[math]}$ ，当体重单位为“ $\text{[math]}$ ”，身高单位为“ $\text{[math]}$ ”时，得到的回归方程为 $\text{[math]}$ .则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图．（附：年份代码1~7分别对应的年份是2015~2021）．

经计算得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并指出是哪一层次的相关性？
（2）建立y关于t的回归方程；
（3）若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？
附：（i）相关系数： $\text{[math]}$ ；相关系数 $\text{[math]}$ 时相关性较强， $\text{[math]}$ 时相关性一般， $\text{[math]}$ 时相关性较弱．
（ii）线性回归方程： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$