2.3 变量的相关性知识点题库

在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（　　）

A .

B .

C .

D .

抽样调查某大型机器设备使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如表

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

部分数据分析如下 $\text{[math]}$ =25， $\text{[math]}$ y_i=112.3， $\text{[math]}$ =90

参考公式：线性回归直线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）求线性回归方程；
（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．

已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：

x	0	1	2	3	4
y	2.2	4.3	4.5	4.8	6.7

回归方程是 $\text{[math]}$ =bx+a，其中b=0.95，a= $\text{[math]}$ ﹣b $\text{[math]}$ ．则当x=6时，y的预测值为（）

A . 8.1 B . 8.2 C . 8.3 D . 8.4

下列说法错误的是（）

A . 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B . 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 C . 线性回归方程对应的直线 $\text{[math]}$ 至少经过其样本数据点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n）中的一个点 D . 在回归分析中，R²为0.98的模型比R²为0.80的模型拟合的效果好

某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
公式和临界值表参考第20题
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
25周岁以下组
合计

某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（1）
在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）

某公司近年来产品研发费用支出x万元与公司所获得利润y之间有如下统计数据：

x	2	3	4	5
y	18	27	32	35

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
（2）试根据（1）中求出的线性回归方程，预测该公司产品研发费用支出为10万元时所获得的利润．
参考公式：用最小二乘法求现象回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =y﹣ $\text{[math]}$ ）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x³﹣0.09x²﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）

已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n），由这些数据得到的回归直线l的方程为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则下列各点中一定在l上的是（）

A . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ，0） C . （0， $\text{[math]}$ ） D . （0，0）

一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：

日期	4月6日	4月7日	4月8日	4月9日	4月10日	4月11日
平均气温x（℃）	10	11	13	12	8	6
一天生长的长度y（mm）	22	25	29	26	16	12

该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程．

（1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）
参考公式： $\text{[math]}$ ．

某单位为了了解用电量y度与气温 $\text{[math]}$ 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

气温 $\text{[math]}$	14	12	8	6
用电量 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$	22	26	34	38

（1）求线性回归方程；（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2）根据（I）的回归方程估计当气温为 $\text{[math]}$ 时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：

年份 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$	0	1	2	3	4
人口数 $\text{[math]}$ 十万 $\text{[math]}$	5	7	8	11	19

（附）参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）据此，估计2023年该市人口总数．

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为 $\text{[math]}$ .

零件数 $\text{[math]}$ 个	10	20	30	40	50
加工时间 $\text{[math]}$	62		75	81	89

现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）

A . 68 B . 68.3 C . 68.5 D . 70

2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施.如测量体温、有效隔离等.

附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式与临界值表： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（1）现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本.据分析，人群体温近似服从正态分布 $\text{[math]}$ .若X表示所采集100个样本的数值在 $\text{[math]}$ 之外的的个数，求 $\text{[math]}$ 及X的数学期望.
（2）疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据.请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？

某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：

单价 $\text{[math]}$ （元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量 $\text{[math]}$ （件）	90	84	83	80	75	68

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）求销量 $\text{[math]}$ （件）关于单价 $\text{[math]}$ （元）的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；
（2）若单价定为10元，估计销量为多少件；
（3）根据销量 $\text{[math]}$ 关于单价 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，要使利润 $\text{[math]}$ 最大，应将价格定为多少？

“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”……这些耳熟能详的谚语是千百年来我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等变化，总结出来的“看云识天气”的宝贵经验.小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”的关联性，观察了他所在地区200天“日落云里走”和夜晚天气情况，得到了如图所示 $\text{[math]}$ 列联表和等高条形图，由于种种原因两图表的信息不全.

图片_x0020_23229511

夜晚天气

日落云里走

下雨

未下雨

出现

$\text{[math]}$

未出现

$\text{[math]}$

附表：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ）

（1）根据以上图表的信息，求图表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
（2）根据以上数据判断能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“日落云里走”有关？

根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额 $\text{[math]}$ （单位：千亿元）和出口总额 $\text{[math]}$ （单位：千亿元）之间的一组数据如下：

	2017年	2018年	2019年	2020年
$\text{[math]}$	1.8	2.2	2.6	3.0
$\text{[math]}$	2.0	2.8	3.2	4.0

若每年的进出口总额 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足线性相关关系 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为亿元．

第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：

	入户登记	自主填报	合计
户主45岁以上		200
户主45岁及以下	240		640
合计			1000

（1）将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？
（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
附表及公式：

$\text{[math]}$

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

$\text{[math]}$

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中， $\text{[math]}$ ．

某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：

x	1	2	3	4	5
y	1.5	2	3.5	8	15

参考公式：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的均值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

称 $\text{[math]}$ 为变量x和y的样本相关系数；

线性回归方程 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

参考数据： $\text{[math]}$ ．

（1）求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度（参考：若 $\text{[math]}$ ，则线性相关程度很强；若 $\text{[math]}$ ，则线性相关程度一般；如果 $\text{[math]}$ ，则线性相关程度较弱）；
（2）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；
（3）当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量．

变量 $\text{[math]}$ 与变量 $\text{[math]}$ 的20对数据记为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，根据最小二乘法求得回归直线方程是 $\text{[math]}$ ，变量间的相关系数为 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 利用回归直线方程计算所得的 $\text{[math]}$ 与实际值 $\text{[math]}$ 必有误差 B . 回归直线 $\text{[math]}$ 必过点 $\text{[math]}$ C . 若所有的点 $\text{[math]}$ 都在回归直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ D . 若变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关，则 $\text{[math]}$

	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组
25周岁以下组
合计

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

2.3 变量的相关性 知识点题库

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