4.2 随机变量知识点题库

已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . 0.1 B . 0.2 C . 0.4 D . 0.6

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：

办理业务所需的时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X和Y，它们的分布列分别为

X	0	1	2
P	0.1	a	0.4

Y	0	1	2
P	0.2	0.2	b

（1）求a，b的值；
（2）计算X和Y的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况．

从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．

（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望．

某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
女性用户	频数	20	40	80	50	10
男性用户	分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
男性用户	频数	45	75	90	60	30

（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；

（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：

甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	5	9	10
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	14	10	6	4

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	4	8	16
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	15	6	6	3

以抽样所得样本数据估计总体

（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；
（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．

某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为为优良

（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．

为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：

	优秀	非优秀	总计
男生	40	20	60
女生	20	30	50
总计	60	50	110

附： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$

p（K²≥k）	0.500	0.400	0.100	0.010	0.001
K	0.455	0.708	2.706	6.635	10.828

（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 $\text{[math]}$ ，若随机变量 $\text{[math]}$ 表示这3人中通过预选赛的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望．

已知ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则Dξ等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.

（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；

（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（ Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.

在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为 $\text{[math]}$ ，乙每次通过的概率为 $\text{[math]}$ ，且甲乙每次是否通过相互独立.

(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；

(Ⅱ)记 $\text{[math]}$ 为甲乙两人参加体能测试的次数和，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望.

新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：

月份	2017.12	2018.01	2018.02	2018.03	2018.04
月份编号	1	2	3	4	5
销量（万量）	0.5	0.6	1	1.4	1.7

附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .

（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 $\text{[math]}$ （万辆）与月份编号 $\text{[math]}$ 之间的相关关系.请用最小二乘法求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；

（2） 2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

补贴金额预期值区间（万元）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频数	20	60	60	30	20	10

（i）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 $\text{[math]}$ 的方差 $\text{[math]}$ 及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1）；

（ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取的3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .

已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.15 B . 0.30 C . 0.70 D . 0.85

随机变量ξ服从正态分布N(1，σ²)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=.

已知随机变量 $\text{[math]}$ ，正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 9

某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩.

场次	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	98	94	97	97	95	93	93	95	93	95
乙	92	94	93	94	95	94	96	97	97	98

甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作 $\text{[math]}$ ，方差分别记作 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$
（2）若某班A ， B两名学生模拟测试成绩的平均分并列第一，且每班只能派出一名学生参赛，则需要对他们进行加试，规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分，当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜，已知A ， B每轮均抢答且抢到答题权的概率相同，A答对的概率为0.5，B答对的概率为0.7，且两人每轮是否回答正确均相互独立，设抢答了 $\text{[math]}$ 轮后比赛结束，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列.

为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查.结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未使用新药	150	25	t
使用新药	x	y	100
总计	225	m	275

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

（1）求 $\text{[math]}$ 列联表中的数据x，y，m，t的值，并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；
（2）从有疲乏症状的接受调查的人当中随机抽取3人进行进一步了解，记X为抽到使用新药的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，密度函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . $\text{[math]}$

甲、乙两人进行定点投篮游戏，规则是一人投篮，若投中，则继续投篮，否则由另一人投篮．已知第一次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为 $\text{[math]}$ ．

（1）求第三次仍由甲投篮的概率；
（2）在前3次投篮中，记甲投篮的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望

良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间 $\text{[math]}$ ，则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为．（结果四舍五入保留整数）

（附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

4.2 随机变量 知识点题库

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