题目

已知函数(为实数). （1） 当时，求在点处的切线方程； （2） 当有两个零点时，求的取值范围. 答案： 解：当a=1时，f(x)=(2x−1)lnx−x+1，f′(x)=2lnx+2x−1x−1=2lnx+x−1x，x>0，因为f(1)=0，f′(1)=0，所以切点为(1，0)，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=0； 解：当a=0时，f(x)=2xlnx−x，f(x)只有一个零点x=e；当a≠0时，f(a2)=a2≠0，此时x=a2不是f(x)的零点，a≠0时，f(x)=(2x−a)(lnx−x−a2x−a)，x>0，令g(x)=lnx−x−a2x−a，由题意可知，f(x)有两个零点等价于g(x)在x>0且x≠a2时有两个零点，因为g′(x)=(4x−a)(x−a)x(2x−a)2，若a<0，则g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)最多有一个零点，因此，a>0，若a>0，当x∈(0，a4)或x∈(a，+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈[a4，a2)或x∈(a2，a]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，而g(a4)=lna4−32，g(a)=lna，当g(a4)=0时，此时a=4e32，而g(a)=ln(4e32)>0，故g(x)有且只有一个零点，舍；当g(a4)<0即a<4e32，此时g(x)在(0，a2)上无零点，故g(x)在(a2，+∞)上需有两个不同的零点，故g(a)=lna<0即0<a<1，此时当a2<x<a(1−lna2)1−2lna2时，g(x)=lnx−x−a2x−a>lna2−x−a2x−a=(2lna2−1)x−a(lna2−1)2x−a>0，故当a2<x<a(1−lna2)1−2lna2时，g(a)>0.而当x>e12时，因为x−a2x−a−12=−a2(2x−a)<0，故x−a2x−a<12，故g(x)=lnx−x−a2x−a>12−12=0.由零点存在定理及g(x)的单调性可得此时g(x)有两个不同的零点.当g(a4)>0即a>4e32，此时g(a)>ln(4e32)>0，故g(x)在(a，+∞)上不存在零点.此时当0<x<e12=min{a4，e12}时，lnx−x−a2x−a<12−x−a2x−a=a2(2x−a)<0，当a(lna2−1)2lna2−1<x<a2时，lnx−x−a2x−a<lna2−x−a2x−a=(2lna2−1)x−a(lna2−1)2x−a<0，由零点存在定理及g(x)的单调性可得此时g(x)有两个不同的零点.综上，0<a<1或a>4e32.

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