题目

在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， PB=PC=PD . （I）证明： 平面 ； （II）若 ，求二面角 的余弦值. 答案：解：（I）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形． 取BC中点E，连接AE，PE， 因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE， 因为PB＝PC，所以BC⊥PE， 又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE， 又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA． 同理CD⊥PA， 又因为BC∩CD＝C，所以PA⊥平面ABCD． （II）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则B（ 3 ，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， PD→= （0，2，﹣2）， BD→= （ −3 ，3，0）， 设平面PBD的法向量为 m→= （x，y，z）， 则 {PD→⋅m→=2y−2z=0BD→⋅m→=−3x+3y=0 ，取x =3 ，得 m→= （ 3，1，1 ）， 取平面PAD的法向量 n→= （1，0，0）， 则cos <m→，n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=155 ， 所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是 155 ．

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