题目

若椭圆C1： 的离心率等于 ，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点在椭圆C1的顶点上． （1） 求抛物线C2的方程； （2） 求过点M（﹣1，0）的直线l与抛物线C2交E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2 ， 当l1⊥l2时，求直线l的方程． 答案： 解：已知椭圆的长半轴为2，半焦距 c=4−b2 由离心率等于 e=ca−4−b22=32 ∴b2=1∴椭圆的上顶点（0，1）∴抛物线的焦点为（0，1）∴抛物线的方程为x2=4y 解：由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x1，y1），F（x2，y2）， y=14x2 ，∴ y′=12x ，∴切线l1，l2的斜率分别为 12x1,12x2 当l1⊥l2时， 12x1⋅12x2=−1 ，即x1•x2=﹣4由 {y=k(x+1)x2=4y 得：x2﹣4kx﹣4k=0∴△=（4k）2﹣4×（﹣4k）＞0解得k＜﹣1或k＞0①∴x1•x2=﹣4k=﹣4，即：k=1此时k=1满足①∴直线l的方程为x﹣y+1=0

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