题目

已知椭圆C： 的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1） 若直线l过点F1 ， 且｜AB｜＝ ，求k的值； （2） 若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 答案： 解：因为直线l过点F1(-2，0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立 {y=k(x+2)，x2+2y2−8=0，    整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2= −8k21+2k2 ，x1x2= 8k2−81+2k2 ． 由弦长公式|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=823 ， 代入整理得 1+k21+2k2=23 ，解得k2=1.∴ k=±1 解：设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 {y=kx+m，x2+2y2−8=0，  整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2= −4km2k2+1 ，x1x2= 2m2−82k2+1 ．  以AB为直径的圆过原点O，即 OA⇀⋅OB⇀=0 ． ∴ OA⇀⋅OB⇀= x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2= −4km2k2+1 ，x1x2= 2m2−82k2+1 代入， 整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d， 于是d2= m2k2+1=83 ， 故O到直线AB的距离是定值为 d=263 ．

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